规律尺度——17公式

在不同尺度上,或者说维度上,我们的世界遵循着不同的规律。描述微观量子世界的定律,与描述宏观物体的定律有着本质的区别。然而,任何随着尺度的变化必然是连续的,在我们的世界中看似截然分立的领域,实则具有丰富的联系。本文向大家科普17个意义深远的公式。

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作者:于中阳Mercina-zy

来源:区块链兄弟

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在不同尺度上,或者说维度上,我们的世界遵循着不同的规律。描述微观量子世界的定律,与描述宏观物体的定律有着本质的区别。然而,任何随着尺度的变化必然是连续的,在我们的世界中看似截然分立的领域,实则具有丰富的联系。

现由《尺度,法则和生命》这幅伟大画作为引,向大家科普17个意义深远的公式。
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1. 麦克斯韦方程组
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麦克斯韦方程组,位于画作中的左上角。

电磁现象研究中最重要的一点是要理解,是电荷的存在产生了渗透整个空间的电磁场。

在上图显示的四个方程中,有两个方程中有倒三角、点,以及表示电场和磁场的字母E和B。这两个公式描述了电场和磁场的散度,或者说是点源在径向上产生磁场和电场的能力。根据这两个公式,电场的散度取决于存在的电荷数量,而磁场的散度总是零!这意味着电场是有源的,而磁场是无源的,正如我们知道的,自然中存在点电荷,但是不存在磁单极子。

另外两个等式包含叉号而非圆点,描述电场和磁场的旋度。旋度可以理解为电场与磁场在自由空间弯曲程度的度量。在描述电场旋度的等式右侧包含磁场,在描述磁场旋度的等式右侧包含电场。这表明,随时间变化的电场会激发环绕的磁场,而随时间变化的磁场会激发环绕的电场。

在描述磁场旋度的等式中,还有一个额外的包含字母J的项,代表位移电流,这表示运动的电荷会产生环绕的磁场。值得注意的是,在描述电场旋度的等式中,并不包含对应的“磁流”项,这是因为“磁流”根本就不存在!如果存在磁单极子,就会有“磁流”,而磁单极子迄今仍未被发现。

这四个描述电磁场散度和旋度的等式构成了麦克斯韦方程组,它们为电磁场在电荷存在时或者真空中的行为提供了完整的描述。


2. 纳维尔-斯托克斯方程
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纳维尔-斯托克斯方程,位于画作上方中间位置。左侧包含与流体速度、加速度有关的项,而右侧是与外力、外部压强有关的项,形式上与牛顿第二定律非常一致。

上面这个看起来十分冗长的等式便是描述流体运动的纳维尔-斯托克斯方程。流体,简单说来,就是运动的连续粒子流。正如牛顿第二定律 (F=ma)描述了粒子在力的作用下如何运动一样,纳维尔-斯托克斯方程描述了粘性、不可压缩流体的运动。它并不是在表述能量守恒,而是描述流体在给定的粘度、集体速度和外部压强下是如何运动的。

由于非线性偏微分方程的数学形式,纳维尔-斯托克斯方程令无数相关领域的研究人员头疼不已。纳维尔-斯托克斯方程的存在性与平滑性是千禧年七大数学难题之一,普遍认为,距离方程的解决还很遥远。 


3. 连续性方程
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连续性方程位于纳维尔-斯托克斯方程下方,在顶部的两个人体中间。

流体力学中,决定流体行为的一个重要特征,是在流体中是否存在源(source)或者汇(sink)。想象流体中的一个封闭空间,我们可以问如下的问题:在一段时间内,有多少流体进入这个空间,有多少流出?

如果是一根没有洞的水管,可以确定流入和流出的流体量是相等的,因为流体是连续的!在这种情况下,连续性方程中代表流体源或汇的希腊字母σ等于零。从左往右,方程中另外两项分别代表单位时间内流入或流出封闭空间的流体量,以及流体的散度。连续性方程实质上是流体总量守恒的一种表述,描述了流体不会凭空产生或者消失,类似于电荷守恒、质量守恒、动量守恒等。


4. 洛伦兹变换
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洛伦兹变换的公式位于纳维尔-斯托克斯方程上方,在中间的格点图形那里。

在爱因斯坦提出狭义相对论之前,理解物体相对运动是通过伽利略变换。在伽利略变换的图景中,对运动物体时间和空间的描述不包括时间膨胀和长度收缩效应。

爱因斯坦假定在所有惯性系中光速是恒定的, 并且构架了一种和伽利略变换不同性质的变换,后来被称为洛伦兹变换。这种变换解释了如下事实:在静止参考系中,运动物体在时空中的前进速度是不同的,这与运动参考系和静止参考系的相对速度有关。

如图中的洛伦兹变换公式中表示的那样,大写的X和X’代表观察者和被观察的时空坐标。大写的希腊字母Λ是4×4的变换矩阵,它包含了物体与观察者相对速度的信息。

5. 爱因斯坦广义场方程
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爱因斯坦广义场方程位于画作右上角,黑洞下方。

在广义相对论中,爱因斯坦场方程描述了在物质和能量的影响下,时空结构是如何弯曲缠绕的。可以从方程中求解出的小写字母g代表时空度量(space-time metric),时空度量g可以认为是特定系统中时空结构的特征描述。爱因斯坦说“一只盲目的甲虫,在球面上爬行,它意识不到它走过的路是弯曲的。”时空度量g就是这个球面弯曲形状的表征。如果是一只非常非常聪明的甲虫,它知道这个面的g和相关知识,也就知道了自己在什么形状的面上爬行。

通过时空度量,我们可以确定物体在系统中的行为,因为,最简单说来,时空曲率会引导物体的运动。这种“引导”由物体周围时空结构的曲率决定,正是我们感受到的重力。


6. 黑洞的贝肯斯坦-霍金熵
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贝肯斯坦-霍金熵的公式位于图的右上角,黑洞上方的位置。(进一步阅读:《霍金走了,却留下了一个谜题》)

当霍金还年轻的时候,他设想了一种机制,通过这种机制,黑洞喷射自身的质量,并最终蒸发消失。这种想法基于透过量子力学“透镜”观察到的真空特性。

根据我们对量子力学的理解,真空中充满了正负粒子对,它们不断地成对产生或湮灭。霍金的理论表明,如果这种现象出现在史瓦西半径附近 (光和粒子均无法逃离时的黑洞半径称为史瓦西半径),正负粒子对中的一个会掉入黑洞,另一个则会逃离。根据这一机制,黑洞就像是在喷射自身的质量,这种现象被称为霍金辐射。

贝肯斯坦-霍金熵描述了在黑洞表面所必须的熵,以符合控制黑洞视界物质外部的热力学原理。


7. 爱因斯坦质能方程
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爱因斯坦质能方程位于右上角的行星里,就在爱因斯坦场方程下方。

爱因斯坦质能方程可能是物理学中最广为人知的方程。尽管名字广为流传,它的物理内涵却有些令人难以捉摸,只有通过相对论才能理解。这个等式之所以如此重要,是因为它直观的表述了对于静止物体,能量就是质量,质量就是能量。与物体本身相对静止的参考系内的质量,称为物体的静止质量。


8. 重整化群方程
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这个方程被放在了图的中间,分裂在地球的两侧。

重整化群方程可以用来确定物理系统在不同尺度上的行为。类似于显微镜是观察细菌的合适工具,却不适合观察宏观物体,这个方程是用来确定,在特定的物理尺度或能量尺度上,应用什么数学工具更为合适。

这个方程可以用于研究,当系统的尺度发生变化时,一个理论的相关参数应如何变化。另外,这个方程可以表明,哪些理论在所有能量尺度上是有效的——例如共形场论(conformal field theory)——这些理论在物理学的众多领域具有重要作用,包括凝聚态物理、弦论、规范-引力对偶(全息原理)。


9. 牛顿第二定律
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牛顿第二定律在图中航天飞机的右边。

在宏观尺度下,当物体运动的速度远小于光速,作用于物体上的力等于物体的质量乘以加速度。牛顿第二定律是人们理解力这一概念的基础,被应用在难以计数的研究领域中。

在牛顿第二定律F=ma下方,是作用于物体上的力的更为普适的表达。这个公式表达的是,作用于物体上的力等于单位时间内物体动量的变化。这种表达之所以更为普适,是因为它不仅包含了特定质量物体速度变化的可能,还包含了物体质量变化的可能。因为动量由质量和速度共同决定,这两者中任何一种的变化,都意味着有力作用于物体上。

在画作中,画家让F=ma和F=dp/dt这两种表达互相排斥,来描述牛顿第三定律的内涵。在没有外界影响的情况下,对于任何一个力,都存在一个大小相等、方向相反的力。


10. 热力学第二定律
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热力学第二定律位于DNA双螺旋下面。

热力学第二定律陈述的是,孤立系统的熵只会增加。简单的说,熵是衡量系统可以采取的排列方式的量。想象密封盒子里的一团粒子,与外界不存在能量交换。与所有粒子都聚集在盒子的一个角落相比,粒子分散在整个盒子中时,可能的排列数量远远大得多。这也和我们的直观经验相吻合,比如一团气体会自动扩散开来。虽然这不是在孤立系统中,推动这一过程的仍是熵的增加。这就是热力学第二定律最核心的思想。孤立系统有一种倾向,就是演化成具有最多可能排列数量的状态。


11. 配分函数
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配分函数在图的右下角。

当确定系统处于某个特定状态,尤其是平衡态的概率时,配分函数是我们最好用的工具。配分函数取决于系统的自由度,以及表征系统的状态是连续或者分立。从统计力学的角度,最重要的描述系统的物理量,如自由能、熵、压强等,都能通过配分函数及其导数来表达。配分函数被认为包含系统的所有信息,所以一旦知道配分函数,系统的任何性质原则上都能够计算出来。但是复杂系统的配分函数并不容易获得。


12. 量子简谐振子
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量子简谐振子的表达式在地球下方,图的中间。

最简单的简谐振子是单摆,摆臂在重力作用下持续均匀摆动。量子简谐振子和宏观摆的本质区别在于,对于量子简谐振子,振动的物体是像电子这样的粒子,且粒子的振动限定在一系列离散的状态上。不同于宏观的摆可以具有任何频率,量子简谐振子中的粒子只能具有特定的离散的频率。这个概念描述了量子力学与量子尺度的物质粒子的根本特性。画家用抛物线来代表简谐振子,因为对于简谐振子的定义就是势阱禁锢着振动的粒子。

如图中所表达的,量子简谐振子中占据特定能量状态的电子跃迁到较低能量态时,一个光子会发射出来,其能量恰好等于两个状态的能量差。光子的波长与其能量相对应,较高能量的光子具有较短的波长。这个过程也可以反向进行。一个光子可以与电子相互作用,将电子激发到较高能量态,电子能量的增加则等于光子携带的能量。


13. 最小作用量原理
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最小作用量原理在图的中下方。

最小作用量原理代表了我们对于物理学几乎所有领域的最深刻理解。最小作用量原理本质上表达的是,我们可以通过提出一个问题来确定物理系统的行为,这个问题就是,自然是否在追求某个量的最小化?或者更普遍的,自然是否在寻求某种不变性?

关于最小作用量原理的一个绝佳例子是光的折射现象。当光线从一种介质进入另一种介质(比如从水进入空气)中时,会选取怎样的路径呢?事实是,光线会选取传播时间最少的路径!因为光在不同介质中传播速度不同,为了使传播时间最短,光线会在界面上发生弯折,以确保在光速快的介质中通过更多路程。理解了最小作用量原理,也就理解了光的折射现象。

这绝非最小化原理在物理学中的唯一例证。事实上,最小化原理广泛地应用于经典力学、电磁学、广义相对论、量子力学和很多其他领域。在所有尺度上,自然似乎都在告诉我们,确定一个复杂系统行为的最简单方法是类似这样的最小化原理。


14. 薛定谔方程
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薛定谔方程位于图中左下角的波形中。

薛定谔方程是量子力学的精华,以简洁的数学形式表达了量子力学的内涵,描述在自由空间或者存在势能的情况下粒子类似于波的行为。画家以最简洁的形式表达薛定谔方程:哈密顿算子H作用于波函数Ψ,等于系统的总能量E乘以波函数Ψ。波函数包含关于量子系统能量状态的概率信息,当不同的算符作用于波函数时,可以得到系统的能量、角动量等物理量。


15. 海森堡不确定性原理
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海森堡不确定性原理位于图的左下角。

海森堡不确定性原理陈述的是:由于在量子尺度上粒子具有波的特性,粒子的动量和位置不能同时精确测定。

首先,在你的脑海中想象一列波在空间传播,比如石子投入水中引起的涟漪,或者振动的琴弦。问自己如下的问题:波的准确位置在哪里?你想象的波具有固定的波长,不是吗?具有固定波长的波具有精确的动量,然而却不具有精确的位置,无法准确说出这列波究竟在这里,还是在那里。

现在,想象一个波包,也就是许多各种波长的波叠加在一起形成的具有确定位置的波。这时,波包有着更为精确的位置。但是,因为添加了许多不同波长的波,波包动量的不确定性增加了。这就是不确定性原理的本质。

画家在这幅图中用标准差σ来表示位置和动量的不确定性,位置和动量标准差的乘积大于或等于一个常数(普朗克常数的一半)。因此,当一个量变得精确时(σ变小),另一个量的精确性会相应降低(σ变大)。


16. 狄拉克方程
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狄拉克方程在画作的左侧,爆炸的下方。

1928年,保罗•狄拉克提出了描述电子的相对论性方程式——狄拉克方程。它把物理学上两个最重要的想法联姻在了一起:描述微观世界的量子力学以及描述快速运动物体行为的狭义相对论。因此,狄拉克方程描述了粒子(比如电子)以接近光速运动时的行为。狄拉克方程是通往量子场论的第一步,以至于有了今天的粒子物理学的标准模型。此外,狄拉克方程还包含了解释粒子自旋特性的必要细节,并且预言了反物质的存在!


17. 光电效应
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光电效应的公式在图的左侧,爆炸的上方。

相比于相对论,爱因斯坦对光电效应的发现并不那么广为人知,然而正是凭借光电效应的工作,爱因斯坦获得了他唯一的诺贝尔奖。

光电效应描述的是,当光子照射到金属表面上时,电子携带着动能,从金属表面发射出来。然而,光电效应令人惊异的洞察是,发射电子所携带的动能并不取决于光的强度,而是取决于光的频率。这是引领物理学家提出离散能量状态这一概念的重要线索,正如后来量子力学中描述的那样。

在这幅画中,光子的能量表示为普朗克常数和频率的乘积。出射电子的动能E等于光子的能量减去功函数φ。功函数φ是电子从金属表面的束缚能量状态挣脱所需要的能量,它是一个常数,与入射光子的能量无关。 也就是说,入射光子的一部分能量用于克服金属对电子的吸引,剩余的能量则转化为出射电子的动能。

参考文献:https://publish.illinois.edu/flowing-from-quantum-to-cosmic/the-equations/


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  • 发表于 2018-09-26 16:45
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